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PRÉFACE. La première Partie de cet Ouvrage est consacrée à l'exposition d'une théorie des fonctions, d'après les idées de Cauchy. Le principe fondamental de cette théorie est la considération des fonctions d'une variable imaginaire. Il apparaît pour la première fois dans le Mémoire célèbre de 1825 sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires. Depuis, par les travaux de Cauchy et des géomètres qui ont suivi ses traces, il a reçu des développements tels, et a conduit à la découverte d'un si grand nombre de vérités nouvelles, que son importance est aujourd'hui universellement reconnue. Cependant on constate avec regret que, dans quelques ouvrages consacrés à cet ordre de recherches, on ne rend pas à Cauchy la justice qui lui est due. Dans la théorie de Cauchy, la marche de la variable imaginaire est figurée par le mouvement d'un point sur un plan. Pour représenter les fonctions qui acquièrent plusieurs valeurs pour une même valeur de la variable, Riemann regardait le plan comme formé de plusieurs feuillets superposés et réunis par des soudures, de manière que la variable puisse passer d'un feuillet à un autre en traversant une ligne de raccordement. La conception des surfaces à feuillets multiples présente quelques difficultés; malgré les beaux résultats auxquels Riemann est arrivé par cette méthode, elle ne nous a paru présenter aucun avantage pour l'objet que nous avions en vue. L'idée de Cauchy se prête très- bien à la représentation des fonctions multiples ; il suffit de joindre à la valeur de la variable la valeur correspondante de la fonction, et, quand la variable a décrit une courbe fermée et que la valeur de la fonction a changé, d'indiquer ce changement par un indice.

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