Brève description / annotation

Il s'agit d'une nouvelle édition, revue et augmentée, d'un ouvrage depuis longtemps épuisé et toujours très demandé. Ce livre a compté dans la formation de nombreux chercheurs, aujourd'hui en exercice, qu'il a initiés au langage et à la philosophie de Grothendieck. La géométrie algébrique moderne, qui est l'une des réalisations majeures des mathématiques du XXe siècle, et qui est en grande partie l'oeuvre d'Alexandre Grothendieck, est une théorie d'accès difficile : elle demande un changement de point de vue et, par rapport à la pratique habituelle des mathématiciens, un nouveau saut dans l'abstraction. L'une des preuves de la puissance du nouveau langage introduit par Grothendieck est le fait qu'il permet de traiter en employant les mêmes termes des questions de géométrie et des questions de théorie des nombres, et surtout d'éclairer les unes par les autres. L'un des principaux mérites du livre des Douady - tacite, car cela n'est apparu en pleine lumière qu'avec le recul des années - est de procurer une voie d'accès à ces sphères élevées en étudiant une situation où les deux aspects, algèbre et théorie des nombres d'une part, géométrie de l'autre, sont pour le débutant sinon intuitifs, du moins relativement faciles à saisir. La première partie expose ce que chaque étudiant de maîtrise (ou agrégatif) doit savoir sur les anneaux et les modules, et contient un exposé de la théorie des catégories, ce qu'on ne trouve que rarement dans les livres d'algèbre de ce niveau. C'est dans la deuxième partie que réside toute l'originalité du livre, celle qui traite en parallèle la théorie de Galois et celle des revêtements, et concrétise l'analogie entre elles en étudiant les surfaces de Riemann. On ne trouve pas d'autre essai de cette nature dans la littérature, française ou étrangère. Le livre a été entièrement revu et corrigé. Il comportait un grand nombre d'exercices. Plusieurs dizaines de nouveaux exercices, tous originaux, ont été ajoutés. Un nouveau chapitre sera consacré à la théorie des « des dessins d'enfants » de Grothendieck.

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