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Avant-propos 1 Partie A : notes de cours 7 1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Application linéaire symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . 16 1.3 Opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Division vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Champ central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Champ antisymétrique (ou champ de moments) . . . . . . . . . . 28 3.5 Champ équiprojectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.6 Théorème de Delassus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Éléments de réduction - Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1 Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3 Produit ou comoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.4 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6 Invariants d'un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.1 Invariant scalaire ou automoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.2 Invariant vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7 Axe central d'un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.2 Pas d'un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.3 Moment central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.4 Équation vectorielle de l'axe central . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.5 Interprétation géométrique - Représentation graphique de l'axe central . .. . . . . . . . . . . . . . 41 7.6 Détermination analytique de l'axe central . . . . . . . . . . . . . 42 7.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8 Torseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 8.1 Torseur glisseur ou torseur à résultante . . . . . . . . . . . . . . . 46 8.2 Torseur couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8.3 Torseur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.4 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 9 Décomposition d'un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 9.1 Décomposition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 9.2 Décomposition centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10 Interprétation géométrique - Origine du mot torseur . . . . . . . . . . . 52 11 Classification des torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 12 Torseur associé à un ensemble de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 13 Torseur associé à une densité de vecteurs ? f(M) . . . . . . . . . . . . . 55 14 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Partie B : problèmes corrigés 61 Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Problème 1 : équation vectorielle et axe central d'un torseur . . . . . . . 63 Problème 2 : moment et axe central d'un torseur . . . . . . . . . . . . . . 64 Problème 3 : comoment de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Problème 4 : somme de trois glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Problème 5 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Problème 6 : somme de trois vecteurs glissants . . . . . . . . . . . . . . . 70 Problème 7 : somme de cinq glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Problème 8 : torseur défini par un champ de moments . . . . . . . . . . . 74 Planche 2 : problèmes pour s'exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Problème 1 : détermination de la résultante d'un torseur . . . . . . . . . 78 Problème 2 : champ de moments dépendant d'un paramètre . . . . . . . 80 Problème 3 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Problème 4 : résultante et axe central d'un torseur . . . . . . . . . . . . . 83 Problème 5 : champ équiprojectif et axe central d'un torseur . . . . . . . 84 Problème 6 : somme de trois glisseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Problème 7 : somme de trois glisseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Problème 8 : combinaison linéaire de deux torseurs . . . . . . . . . . . . 90 Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Problème 1 : champ équiprojectif et axe central d'un torseur . . . . . . . 95 Problème 2 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-I . . . . . . . 98 Problème 3 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-II . . . . . . 101 Problème 4 : décomposition centrale d'un torseur . . . . . . . . . . . . . 103 Problème 5 : somme de deux torseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Problème 6 : somme de deux torseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Problème 7 : produit et somme d'un glisseur et d'un couple . . . . . . . . 110 Problème 8 : somme et produit de deux glisseurs . . . . . . . . . . . . . . 114 Annexes 117 Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Annexe 3 : diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Bibliographie 131 Index alphabétique 139

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