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Préface v Notations principales vii 1 Diagonalisation des opérateurs compacts auto-adjoints 1 1.1 Analyse spectrale des opérateurs compacts ............ 1 1.2 Diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts..... 8 1.3 Diagonalisation d'opérateurs provenant de formeshermitiennes 9 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14 2 Généralités sur les distributions 19 2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 20 2.2 Convolution de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24 2.3 Partition de l'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 27 2.4 Ordre d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29 2.5 Localisation et recollement . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 31 2.6 Support singulier d'une distribution . . . . . . . . . .. . . . . 33 2.7 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . .. . . . . 33 2.8 Multiplication par une fonction . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35 2.9 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 36 2.10 Convolution d'une distribution et d'une fonction . . .. . . . . 37 2.11 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 38 2.12 Convolution de distributions . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 40 2.13 Distributions dans les espaces produits . . . . . . . .. . . . . . 43 2.14 Théorème des noyaux de Schwartz . . . . . . . . . . . .. . . . 45 2.15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 48 3 Espaces de Sobolev Wk,p 57 3.1 Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 57 3.2 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . .. . . . . . 60 3.3 Opérateurs de prolongements et de traces . . . . . . . .. . . . 66 3.4 Théorèmes d'injections . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 75 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 82 ii Analyse fonctionnelle appliquée 4 Solutions faibles d'équations elliptiques 95 4.1 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 96 4.2 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 97 4.3 Diagonalisation d'un opérateur elliptique . . . . . . .. . . . . . 99 4.4 Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 100 4.5 Problème de Dirichlet semi-linéaire . . . . . . . . . .. . . . . . 103 4.6 Inégalités de Harnak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 107 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 116 5 Unique continuation et problème de Cauchy 121 5.1 Propriétés des fonctions harmoniques . . . . . . . . . .. . . . . 121 5.2 Unique continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 129 5.3 Inégalités de Caccioppoli et d'interpolation . . . . . .. . . . . 134 5.4 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 140 5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 149 6 L'approche de Schauder pour les équations elliptiques 161 6.1 Espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 161 6.2 Semi-normes équivalentes sur les espaces de Hölder . . .. . . . 167 6.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 170 6.4 Quelques estimations pour les fonctions harmoniques . .. . . . 177 6.5 Estimations de Schauder intérieures . . . . . . . . . .. . . . . 182 6.6 Problème de Dirichlet dans une boule . . . . . . . . . .. . . . 187 6.7 Problème de Dirichlet dans un domaine borné . . . . . .. . . . 190 6.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 192 7 Construction d'une solution fondamentale 215 7.1 Fonctions définies par des intégrales singulières . . .. . . . . . 215 7.2 Opérateurs intégraux faiblement singuliers . . . . . . .. . . . . 223 7.3 Paramétrix canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 229 7.4 Solution fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 236 8 Transformée de Fourier et espaces de Sobolev Hs 245 8.1 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 245 8.2 Espaces de Sobolev Hs . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 253 8.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 253 8.2.2 Définition équivalente . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 254 8.2.3 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 257 8.2.4 Multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 259 8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 261 9 Opérateurs pseudo-différentiels 271 9.1 Les symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 272 9.2 Les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 278 9.3 Intégrales oscillantes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 280 9.4 Calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 283 9.5 Action sur les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . .. . . . . . 287 9.6 Inégalité de Gårding . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 289 9.7 Les symboles elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 291 9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 292 Bibliographie 309 Index 313

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