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I Introduction et méthodes d'analyse . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Problèmes abordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Les équations traitées . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Équations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Équation d'advection . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3 Équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Équations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Ordre d'une approximation différences finies . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11 3.3 Schémas pour l'équation d'advection . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3.1 Ordre de consistance d'un schéma . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12 3.3.2 Théorème de Lax-Richtmyer . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13 3.3.3 Exemples de schémas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14 4 Méthodes d'analyse des schémas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1 Méthodes opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2 Analyse de Fourier des schémas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.1 Les différentes formes de la transformation de Fourier. . . . . 23 4.2.2 Transformation de Fourier semi-discrète . . . . . . .. . . . . . . . . 24 4.2.3 Transformation de Fourier discrète . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31 4.2.4 Visualisation dans l'espace réciproque, dispersion et dissipation d'un schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 32 4.2.5 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 41 4.3 Méthode de l'équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3.1 Première méthode : développement de Taylor et récursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3.2 Seconde méthode : analyse de Fourier . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46 4.3.3 Calcul par méthode opératorielle . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48 4.3.4 Validité de l'équation équivalente à nombre fini de termes . . 49 4.3.5 Solution de l'équation équivalente à un terme pour l'équation d'advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 55 4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 II Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5 Schémas pour l'équation d'advection. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1 Schéma upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1.1 Méthode opératorielle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1.2 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.1.3 Solution de l'équation équivalente . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 69 5.1.4 Conclusion sur les solutions exactes et approchées . .. . . . . . 75 5.2 Schéma centré semi-discrétisé . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.2 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 76 5.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3.1 Solution par la méthode de l'équation équivalente . .. . . . . . 82 5.3.2 Solution exacte pour la fonction de Green . . . . . .. . . . . . . . . 83 5.3.3 Approximation de la solution exacte . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 88 5.3.4 Solution exacte et approximation de l'équation équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.3.5 Conclusion sur le schéma saute-mouton . . . . . . . .. . . . . . . . 94 5.4 Conclusion sur les schémas non dissipatifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 95 5.5 Schéma de Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.5.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.5.2 Étude par la méthode de l'équation équivalente . . . .. . . . . . 98 5.6 Le schéma de Beam-Warming . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 105 5.6.1 Analyse du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 107 5.7 Propagation de fronts avec des schémas d'ordre 2dissipatifs . . . . . . . 109 5.7.1 Artéfacts des schémas linéaires pour une condition initiale marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.7.2 Comment obtenir des profils monotones ? . . . . . . .. . . . . . . 111 5.8 Conclusion sur les schémas d'ordre 2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 114 5.9 Schémas d'ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.10 Schémas d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.10.1 Schémas d'ordre élevé non dissipatifs . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 119 5.10.2 Schémas d'ordre élevé dissipatifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 124 5.10.3 Un exemple de schéma dissipatif d'ordre 4 . . . . . .. . . . . . . . 125 5.10.4 Schémas de Strang d'ordre impair . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128 5.10.5 Conclusion sur les schémas d'ordre élevé . . . . . .. . . . . . . . . . 128 5.11 Conclusion sur les schémas pour l'advection 1D . . . .. . . . . . . . . . . . 129 5.12 Schémas pour l'advection en 2D . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.12.1 Schéma upwind sur maillage carré . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 130 5.12.2 Schéma splitté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.12.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.12.4 Conclusion sur l'advection sur maillage carré . . . .. . . . . . . . 134 6 Schémas pour l'équation des ondes 1D . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 137 6.1 Équation des ondes continue . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.2 Schémas dérivés des schémas pour l'équation d'advection. . . . . . . . 138 6.3 Schéma de Yee en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.1 Formulation du schéma pour le système des ondes . . .. . . . . 139 6.3.2 Réinterprétation comme une discrétisation de l'équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7 Schémas pour l'équation des ondes en 2D . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 145 7.1 Fonctions de Green pour l'équation des ondes continue .. . . . . . . . . 145 7.1.1 Source Dirac impulsive . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 146 7.1.2 Conditions initiales Dirac sur la dérivée . . . . . .. . . . . . . . . . 147 7.1.3 Conditions initiales Dirac sur la fonction . . . . . .. . . . . . . . . 147 7.2 Schéma semi-discrétisé en 2D . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.2.1 Solution exacte en Fourier . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 148 7.2.2 Approximation par phase stationnaire . . . . . . . . .. . . . . . . . . 149 7.2.3 Solution sur l'axe des x . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 150 7.2.4 Solution sur la diagonale X = Y > 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 154 7.3 Approximation équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 159 7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8 Schémas pour l'équation de la chaleur . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.1 L'équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.1.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.1.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.1.3 Schéma de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 186 8.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.2 Schémas discrétisant l'équation de la chaleur en 2D . .. . . . . . . . . . . 191 8.2.1 Schéma explicite sur maillage régulier . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191 9 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 III Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10 Schémas d'ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.1 Schémas de Strang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.1.1 Génération des schémas de Strang pour l'équation d'advection à vitesse a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.1.2 Analyse des schémas de Strang . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 199 10.2 Montée en ordre en espace . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.2.1 Montée en ordre par corrections successives : schémas centrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 203 10.2.2 Schémas sur grilles décalées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 204 10.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11 Quelques fonctions spéciales. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.1 La fonction d'Airy et ses généralisations . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.1.1 La fonction d'Airy . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.1.2 Fonctions d'Airy généralisées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 215 11.2 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 12 Développements asymptotiques d'intégrales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 223 12.1 Méthode de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 12.2 Méthode de la phase stationnaire . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 227 12.3 Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

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