Brève description / annotation

Préface i Avant-propos v Liste des encadrés 2 Liste des sigles et acronymes 3 1 Information classique 7 1.1 L'entropie de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Entropie et théorème de codage de Shannon . . . . . . . 12 1.1.3 Propriétés de l'entropie de Shannon . . . . . . . . . . . 16 1.1.4 Capacité de transmission d'un canal bruité . . . . . . . 19 1.2 La cryptographie classique : clé secrète et clé publique . . . . . 21 1.2.1 Bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.2 Chiffrement à clé secrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.3 Chiffrement à clé publique . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.4 Mathématiques du chiffrement RSA . . . . . . . . . . . 25 1.3 Complexité algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.1 Machines de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.2 Classes de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Le bit quantique ou qubit 43 2.1 États d'un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Tomographie, clonage, discrimination . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.1 Projecteurs et valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.2 Estimation (ou tomographie) d'un qubit . . . . . . . . . 52 2.2.3 Théorème de non-clonage . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.4 Discrimination sans erreur entre états non orthogonaux 58 2.2.5 Discrimination avec erreur entre états non orthogonaux 59 2.3 Dynamique d'un qubit : oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . 62 2.4 Physique quantique et information . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4.1 Formalisme général de la physique quantique . . . . . . 69 2.4.2 Information et superposition . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3 Champ électromagnétique quantifié et photons 83 3.1 Oscillateur harmonique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.1 États propres du hamiltonien ou « états nombre » . . . 84 3.1.2 États cohérents de l'oscillateur harmonique . . . . . . . 89 3.2 Concept de photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3 États cohérents du champ électromagnétique . . . . . . . . . . 97 3.4 Détection homodyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.4.1 Lame séparatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.4.2 Détection homodyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.5 Interaction photon-atome : le hamiltonien de Jaynes-Cummings 107 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4 Systèmes quantiques intriqués 113 4.1 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2 Opérateur densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.2.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.2.2 Décomposition de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.3 Purification d'un opérateur densité . . . . . . . . . . . . 125 4.2.4 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.3 Opérateur densité pour un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4 Réalisations expérimentales d'états intriqués . . . . . . . . . . . 130 4.4.1 Intrication photon-atome . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.4.2 Transfert d'intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.5 États conditionnels (ou relatifs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6 Inégalités de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5 Information et intrication 151 5.1 Clonage quantique approché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.2 Intrication et perte de cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.3 Définition générale de la décohérence . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.4 Évolution unitaire et représentation de Kraus . . . . . . . . . . 161 5.5 Mesures généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.6 Compression des données quantiques . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.6.1 Entropies de Shannon et de von Neumann . . . . . . . . 170 5.6.2 Compression pour trois qubits . . . . . . . . . . . . . . 173 5.6.3 Compression : cas général de n qubits . . . . . . . . . . 176 5.7 Capacité d'un canal quantique : la borne de Holevo . . . . . . . 178 5.7.1 Propriétés de l'entropie de von Neumann . . . . . . . . 178 5.7.2 Entropie de von Neumann et évolution temporelle . . . 184 5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6 Communications quantiques 201 6.1 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.1.1 Photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.1.2 Paires de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.1.3 Paires de photons intriqués . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.1.4 États graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.1.5 États gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.2 Détecteurs de photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.2.1 Principe général et caractéristiques d'un détecteur de photons uniques . . . . . . . 235 6.2.2 Photodiodes à avalanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 6.2.3 Nanofils supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.3 Détections homodyne et hétérodyne . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.4 Fonctions de base d'un réseau de communications quantiques . 241 6.4.1 Mesure dans la base de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.4.2 Téléportation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 6.4.3 Transfert d'intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.4.4 Purification d'intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.4.5 Mémoires quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 6.5 Répéteur quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 6.5.1 Répéteurs utilisant l'interaction lumière matière . . . . 263 6.5.2 Répéteurs entièrement photoniques . . . . . . . . . . . . 271 6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7 Cryptographie quantique 283 7.1 Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 7.2 Premiers protocoles de distribution quantique de clé . . . . . . 285 7.2.1 Protocole BB84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 7.2.2 Paramètres caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 291 7.2.3 Protocole d'Ekert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 7.2.4 Protocoles à variables continues . . . . . . . . . . . . . . 296 7.2.5 Sécurité d'un protocole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 7.2.6 Exemples d'attaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.3 Protocoles basés sur l'intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.3.1 Protocole indépendant de tous les dispositifs . . . . . . 303 7.3.2 Protocole indépendant des appareils de mesure . . . . . 306 7.3.3 Protocole des champs jumeaux . . . . . . . . . . . . . . 310 7.4 Réalisations expérimentales de distribution quantique de clé . . 315 7.4.1 Protocole BB84 avec des états leurres et en liaison fibrée 315 7.4.2 Variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 7.4.3 Protocole indépendant des appareils de mesure . . . . . 319 7.4.4 Protocole des champs jumeaux . . . . . . . . . . . . . . 321 7.4.5 Communications quantiques spatiales . . . . . . . . . . 325 7.5 Au delà de la distribution de clé . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 8 Calcul quantique : le logiciel 335 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 8.2 Calcul réversible classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 8.3 Portes logiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 8.4 Algorithme de Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 8.5 Algorithme de recherche de Grover . . . . . . . . . . . . . . . . 348 8.6 Algorithme de factorisation de Shor . . . . . . . . . . . . . . . 353 8.6.1 Transformation de Fourier quantique . . . . . . . . . . . 354 8.6.2 Recherche de la période d'une fonction . . . . . . . . . . 358 8.6.3 Décomposition en facteurs premiers et chiffrement RSA 362 8.7 Complexité algorithmique et accélération quantique . . . . . . . 363 8.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 9 Codes correcteurs d'erreurs quantiques 375 9.1 Code de répétition à trois qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 9.2 Codes correcteurs d'erreurs classiques . . . . . . . . . . . . . . 387 9.2.1 Tests de parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 9.2.2 Codes de Hamming rn; ks . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 9.2.3 Codes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 9.2.4 Codes duaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 9.3 Codes Caldebank-Shor-Steane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 9.4 Codes à stabilisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 9.4.1 Définition des erreurs et propriétés . . . . . . . . . . . . 404 9.4.2 Stabilisateurs et leurs générateurs . . . . . . . . . . . . 407 9.5 Logique quantique tolérante aux erreurs . . . . . . . . . . . . . 412 9.5.1 Théorème du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 9.5.2 Calcul avec des qubits logiques . . . . . . . . . . . . . . 416 9.6 Codes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 9.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 10 Calcul quantique : le matériel 433 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 10.2 Ions piégés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 10.3 Qubits supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 10.3.1 Supraconductivité et jonctions Josephson . . . . . . . . 446 10.3.2 Quantification de circuits oscillants . . . . . . . . . . . . 453 10.3.3 Circuits de type SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 10.3.4 Qubits de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

Détails