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Avant-propos ix Auteurs xii Remerciements xv Introduction - Émanciper par des débats mathématiques 1 I. Guide pratique 7 1. Les bases du débat mathématique 9 1.1. Qu'est-ce qu'un débat mathématique ? . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Un nouveau rôle pour les élèves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. L'enseignant comme accompagnateur du débat . . . . . . . . . 14 1.4. La question du débat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Les temps du débat 21 2.1. Changer au besoin la disposition de la classe . . . . . . . . . . . 21 2.2. Installer un cadre propice au débat . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Gérer le coeur du débat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Et si le débat ne progresse plus ? Sortir de l'impasse . . . . . . . 29 2.5. Clôturer le débat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6. Donner la solution. . . ou pas ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7. Après le débat, l'institutionnalisation . . . . . . . . . . . . . . . 45 3. Se préparer au débat 51 3.1. Trouver des idées de questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. Réaliser une analyse à priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3. Check-list pour les débats préparés . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4. Laisser la place aux débats spontanés . . . . . . . . . . . . . . . 58 II. Motivations 61 4. Effets de la pratique du débat 63 4.1. Modification du contrat didactique . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 vi Invitation au débat mathématique 4.2. Développement de compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3. Bénéfices pour l'enseignant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5. Quels freins, quels obstacles? 71 6. Débattre en primaire 75 III. Éléments d'analyse 77 7. Différents types de débats 79 8. Différents types d'arguments 81 8.1. Démarches fructueuses en mathématiques . . . . . . . . . . . . 81 8.2. Raisonnements corrects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3. Réfutation d'un argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.4. Arguments à bannir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 IV. Recueil d'énoncés de débats 109 Introduction 111 Fiches détaillées 114 F1. Lequel est le plus grand ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 F2. Égalités douteuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 F3. Diviser par 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 F4. Des points alignés ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 F5. Couper en quatre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 F6. Qui a le mieux réussi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 F7. Soustraction dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 F8. Conjectures multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 F9. Angle au sommet d'un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 F10. Obtenir le plus grand résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 F11. Quels points voit-on ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 F12. Triangles de même périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 F13. Comparer des ensembles infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 F14. La puce folle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 F15. Comparer 0,999... et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 F16. Construire v2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 F17. Deux calculs d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 F18. Variation sur le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . 281 F19. Les valeurs de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 F20. Un triangle dans un cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 F21. Agrandir un vecteur somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 F22. Limite en l'infini d'une différence de fonctions . . . . . . . . . . 337 F23. Obtenir le plus grand résultat (la suite) . . . . . . . . . . . . . . 345 F24. Le joggeur fatigué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 F25. De grands déserts de nombres premiers ? . . . . . . . . . . . . . 370 Énoncés supplémentaires 377 S1. Le Fan Tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 S2. Les piles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 S3. Somme de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 S4. Bouteille à demi remplie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 S5. Aire et périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 S6. Combien de fractions ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 S7. Construire des Vrai ou faux ? dans divers domaines . . . . . . . 383 S8. Familles de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 S9. Un triangle douteux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 S10. Multiplication dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 S11. Carré d'une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 S12. Calculs avec de très grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 390 S13. 0 exposant 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 S14. Élastique ou ficelle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 S15. Combien de triangles ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 S16. Vers un théorème de Pythagore généralisé . . . . . . . . . . . . 398 S17. Un triangle à la fois plus petit et plus grand . . . . . . . . . . . 399 S18. Émissions de CO2 : qui doit faire le plus d'efforts ? . . . . . . . 400 S19. Quand le sinus varie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 S20. Section d'un tétraèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 S21. Des droites perpendiculaires dans l'espace . . . . . . . . . . . . 406 S22. Limites de suites et croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 S23. Asymptotes de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 S24. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 S25. Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Annexes 416 A. Énoncés par âge 417 B. Énoncés par domaine 419 C. Suggestions de lectures pour approfondir le sujet 421 Bibliographie 432

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