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Notations 9 Chapitre 1. Avant-Propos 1 Chapitre 2. Notion de topologie 7 2.1 Définition 7 2.2 Voisinage 9 2.3 Fermé 11 2.4 Intérieur - Adhérence - Frontière - Point d'accumulation 12 2.5 Densité 18 Chapitre 3. Espaces topologiques connexes 23 3.1 Définitions 24 3.2 Premier résultat 25 3.3 Propriétés des espaces connexes 26 3.4 Espaces localement connexes 34 3.5 Propriétés 36 3.6 Notion de chemin. Espaces connexes par arcs 37 Chapitre 4. Espaces topologiques séparés 43 4.1 Espace de Kolmogorov 43 4.2 Espace accessible (ou de Fréchet) 44 4.3 Espace régulier 51 4.4 Espace normal 53 4.5 Prolongement des fonctions continues 55 Chapitre 5. Espaces topologiques compacts 59 5.1 Définition - Exemples 59 5.2 Suites dans un compact 61 5.3 Parties compactes - Parties fermées 62 5.4 Union - Intersection de compacts 64 5.5 Image continue et produit d'espaces compacts 65 Chapitre 6. Espaces métriques 69 6.1 Notion de distance 69 6.2 Topologie d'un espace métrique 75 6.3 Continuité - Isométrie 78 6.4 Propriétés des espaces topologiques métrisables 83 6.5 Continuité des métriques 87 6.6 Limites dans les espaces métriques 90 6.7 Espaces métriques compacts 92 6.8 Espaces métriques complets 96 Chapitre 7. Espaces vectoriels normés - Espaces de Banach 107 7.1 Notion d'espace normé 107 7.2 Sous-espace et produit fini d'espaces vectoriels normés 111 7.3 Exemples usuels d'espaces vectoriels normés 112 7.4 Propriétés des espaces vectoriels normés 118 7.5 Espaces vectoriels normés de dimension finie 125 7.6 Famille totales 129 7.7 Bases topologiques 131 Chapitre 8. Applications linéaires Prolongement de formes linéaires 133 8.1 Applications linéaires 133 8.2 Espace d'applications linéaires continues 136 8.3 Dual topologique 140 8.4 Applications bilinéaires continues 141 8.5 Espaces d'applications bilinéaires continues 143 8.6 Eléments inversibles de L(E; F) 145 8.7 Prolongement de formes linéaires (cas réel) 149 8.8 Théorème de Hahn Banach : Cas = C 152 8.9 Applications 153 Chapitre 9. Espaces de Hilbert 159 9.1 Produit scalaire 159 9.2 Espace préhilbertien et espace hilbertien 161 9.3 Identités remarquables dans un préhilbertien 163 9.4 Théorème de projection 165 9.5 Dual topologique d'un Hilbert 170 9.6 Familles orthogonales 171 9.7 Bases orthonormales 175 9.8 Résumé des relations entre espaces 178 Bibliographie 181 Index 187

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